Moyenne Mobile De La Série En R

Analyse de séries chronologiques et ses applications: avec R Exemples R série chronologique rapide La page utilise JavaScript pour la mise en évidence de la syntaxe. Il n'est pas nécessaire de l'allumer, mais le code sera plus difficile à lire. Il s'agit d'une brève promenade dans le couloir. Mon conseil est d'ouvrir R et jouer avec le tutoriel. J'espère que vous avez installé R et trouvé l'icône sur votre bureau qui ressemble à un R. bien, c'est un R. Si vous utilisez Linux, puis arrêtez de chercher parce que ce n'est pas là. Il suffit d'ouvrir un terminal et d'entrer R (ou d'installer R Studio.) Si vous voulez plus sur les graphiques de séries chronologiques, en particulier en utilisant ggplot2. Reportez-vous à la section Quick Fix Graphics. Le correctif rapide est destiné à vous exposer à des capacités de série chronologique de base R et est classé amusant pour les personnes de 8 à 80 ans. Ce n'est pas destiné à être une leçon dans l'analyse des séries chronologiques, mais si vous en voulez un, vous pouvez essayer ce short facile Cours: loz Baby étapes. Votre première session R. Get confortable, puis démarrez-la et essayez quelques simple ajout: Ok, maintenant youre un expert utiliser R. Allaient obtenir astsa maintenant: Maintenant que youre chargé, nous pouvons commencer. Lâchons D'abord, jouons bien avec l'ensemble de Johnson Johnson Johnson. Son inclus dans astsa que jj. Ce personnage dynastique de Good Times. Tout d'abord, regardez-le. Et vous voyez que jj est une collection de 84 numéros appelés un objet série chronologique. Pour seeremove vos objets: Si vous êtes un utilisateur de Matlab (ou similaire), vous pouvez penser que jj est un vecteur de 84 fois 1, mais ce n'est pas le cas. Il a l'ordre et la longueur, mais pas de dimensions (pas de lignes, pas de colonnes). R appelle ces types de vecteurs d'objets de sorte que vous devez faire attention. En R, les matrices ont des dimensions, mais les vecteurs ne le font pas - ils se contentent de se balancer dans le cyberespace. Maintenant, nous allons faire un objet série mensuelle série qui commence en Juin de l'année 2293. Nous entrons dans le vortex. Notez que les données de Johnson et Johnson sont des revenus trimestriels, donc elle a la fréquence4. La série chronologique zardoz est des données mensuelles, donc elle a la fréquence12. Vous obtenez également des choses utiles avec l'objet ts, par exemple: Essayez maintenant un graphique des données de Johnson Johnson: Le graphique représenté est un peu plus fantaisiste que le code donnera. Pour plus de détails, voir la page Quick Fix Graphics. Cela va pour le reste des parcelles que vous verrez ici. Essayez-les et voyez ce qui se passe: et pendant que vous êtes ici, consultez plot. ts et ts. plot. Notez que si vos données sont un objet série chronologique, plot () fera l'affaire (pour un simple tracé temporel, c'est-à-dire). Sinon, plot. ts () va contraindre le graphique dans un tracé de temps. Qu'en est-il des filtrages de lissage de la Johnson Johnson série Johnson en utilisant une moyenne mobile bilatérale Tentez ceci: fjj (t) 8539 jj (t-2) frac14 jj (t-1) frac14 jj (t) frac14 jj (t1) 8539 jj T2) et bien ajouter un lowess (lowess - vous savez la routine) adapté pour le plaisir. Permet de différencier les données enregistrées et de l'appeler dljj. Ensuite, jouez bien avec dljj. Maintenant, un histogramme et un tracé Q-Q, l'un sur l'autre (mais d'une manière agréable): Laisse la structure de corrélation de dljj en utilisant diverses techniques. Tout d'abord, bien regarder une grille de diagrammes de dispersion de dljj (t) par rapport aux valeurs décalées. Les lignes sont de faible taille et l'échantillon acf est bleu dans la boîte. Maintenant nous allons jeter un oeil à l'ACF et PACF de dljj. Notez que l'axe du GAL est en termes de fréquence. Donc 1,2,3,4,5 correspondent aux décalages 4,8,12,16,20 parce que la fréquence4 ici. Si vous n'aimez pas ce type d'étiquetage, vous pouvez remplacer dljj dans l'un des ci-dessus par ts (dljj, freq1), p. Acf (ts (dljj, freq1), 20) En allant, essayons une décomposition structurelle de l'erreur de saison de tendance log (jj) en utilisant lowess. Si vous voulez inspecter les résidus, par exemple, ils sont dans dogtime. series, 3. La troisième colonne de la série résultante (les composantes saisonnière et tendancielle figurent dans les colonnes 1 et 2). Vérifiez l'ACF des résidus, acf (dogtime. series, 3) les résidus ne sont pas blancs, même pas près. Vous pouvez faire un peu (très peu) mieux en utilisant une fenêtre saisonnière locale, par opposition à la globale utilisée en spécifiant par. Tapez stl pour plus de détails. Theres aussi quelque chose appelé StructTS qui s'adaptera modèles paramétriques structurelles. Nous n'utilisons pas ces fonctions dans le texte lorsque nous présentons la modélisation structurale dans le chapitre 6 parce que nous préférons utiliser nos propres programmes. Loz C'est un bon moment pour expliquer. Dans ce qui précède, le chien est un objet contenant un tas de choses (terme technique). Si vous tapez chien. Vous verrez les composants, et si vous tapez résumé (chien) youll obtenir un petit résumé des résultats. Un des composants du chien est time. series. Qui contient la série résultante (saisonnière, tendance, reste). Pour voir cette composante de l'objet chien. Vous tapez dogtime. series (et vous verrez 3 séries, la dernière contenant les résidus). Et thats l'histoire de. Vous verrez d'autres exemples à mesure que nous avançons. Et maintenant, bien faire un problème à partir du chapitre 2. Voulons aller le log de régression (jj) betatime alpha 1 Q1 alpha 2 Q2 alpha 3 Q3 alpha 4 Q4 epsilon où Qi est un indicateur du trimestre i 1,2,3,4 . Ensuite, inspectez bien les résidus. Vous pouvez afficher la matrice modèle (avec les variables fictives) de cette façon: Maintenant, regardez ce qui s'est passé. Regardez un tracé des observations et leurs valeurs ajustées: ce qui montre qu'un complot des données avec l'ajustement superposé ne vaut pas le cyberespace qu'il occupe. Mais un tracé des résidus et de l'ACF des résidus vaut son poids en joules: Ces résidus sont-ils blancs? Ignorez la corrélation 0-lag, c'est toujours 1. Indice: La réponse est NON. Donc la régression ci-dessus est nuls. Alors quel est le remède? Désolé, vous aurez à prendre la classe parce que ce n'est pas une leçon de la série chronologique. Je vous ai prévenu au sommet. Vous devez être prudent lorsque vous régresser une série temporelle sur les composants lag de l'autre en utilisant lm (). Il y a un paquet appelé dynlm qui facilite l'ajustement des régressions retardées, et je discuterai juste après cet exemple. Si vous utilisez lm (). Alors ce que vous devez faire est d'attacher la série ensemble en utilisant ts. intersect. Si vous n'avez pas attacher la série ensemble, ils ne seront pas alignés correctement. Voici un exemple de régression de la mortalité cardiovasculaire hebdomadaire (cmort) sur la pollution particulaire (part) à la valeur actuelle et retardé de quatre semaines (environ un mois). Pour plus de détails sur l'ensemble de données, reportez-vous au chapitre 2. Assurez-vous que astsa est chargé. Note: Il n'était pas nécessaire de renommer lag (part, -4) à part4. C'est juste un exemple de ce que vous pouvez faire. Une alternative à ce qui précède est le package dynlm qui doit être installé, bien sûr (comme nous l'avons fait pour astsa là-haut au début). Une fois le paquet installé, vous pouvez faire l'exemple précédent comme suit: Eh bien, son temps de simuler. Le cheval de bataille pour les simulations ARIMA est arima. sim (). Voici quelques exemples aucun résultat n'est montré ici donc vous êtes sur votre propre. Utilisant astsa son facile à adapter un modèle d'ARIMA: Vous pourriez se demander au sujet de la différence entre aic et AIC ci-dessus. Pour cela, vous devez lire le texte ou tout simplement ne vous inquiétez pas parce que ce n'est pas la peine de ruiner votre journée à y penser. Et oui, ces résidus sont blancs. Si vous voulez faire des prévisions ARIMA, sarima. for est inclus dans astsa. Et maintenant pour une régression avec des erreurs autocorrélées. Nous allons adapter le modèle M t alpha betat gammaP t e t où M t et P t sont la mortalité (cmort) et les particules (partie) série, et e t est l'erreur autocorrélée. Tout d'abord, faire un ajustement OLS et vérifier les résidus: Maintenant, ajustez le modèle L'analyse résiduelle (non illustrée) semble parfaite. Voici un modèle ARMAX, M t bêta 0 phi 1 M t-1 phi 2 M t-2 bêta 1 t bêta 2 T t-1 bêta 3 P t bêta 4 P t-4 e t. Où e t est éventuellement autocorrélée. D'abord nous essayons et ARMAX (p2, q0), puis regardons les résidus et réalisons theres aucune corrélation gauche, ainsi ont été faites. Enfin, une analyse spectrale quicky: C'est tout pour l'instant. Si vous souhaitez en savoir plus sur les graphiques de séries chronologiques, reportez-vous à la page de correction rapide des graphiques. Utilisation de R pour l'analyse des séries temporelles Analyse des séries chronologiques Cette brochure vous explique comment utiliser le logiciel statistique R pour effectuer des analyses simples communes à l'analyse des séries chronologiques . Cette brochure suppose que le lecteur a quelques connaissances de base sur l'analyse des séries temporelles et que le but principal de ce livret n'est pas d'expliquer l'analyse des séries temporelles mais plutôt d'expliquer comment effectuer ces analyses à l'aide de R. Si vous êtes nouveau dans la série chronologique Analyse, et que vous souhaitez en savoir plus sur les concepts présentés ici, je recommande vivement le livre Open University 8220Time series8221 (code produit M24902), disponible auprès de l'Open University Shop. Dans cette brochure, j'utiliserai des ensembles de données de séries temporelles qui ont été gentiment mis à disposition par Rob Hyndman dans sa bibliothèque de données de séries chronologiques à robjhyndmanTSDL. Si vous aimez cette brochure, vous pouvez également consulter ma brochure sur l'utilisation de R pour les statistiques biomédicales, un-little-book-of-r-for-biomedical-statistics. readthedocs. org. Et mon livret sur l'utilisation de R pour l'analyse multivariée, little-book-of-r-for-multivariate-analysis. readthedocs. org. Lecture des données de séries chronologiques La première chose que vous voudrez faire pour analyser vos données de séries chronologiques sera de la lire dans R et de tracer la série temporelle. Vous pouvez lire les données dans R à l'aide de la fonction scan (), qui suppose que vos données pour des points de temps successifs se trouvent dans un fichier texte simple avec une colonne. Par exemple, le fichier robjhyndmantsdldatamisckings. dat contient des données sur l'âge de la mort des rois successifs d'Angleterre, à commencer par Guillaume le Conquérant (source originale: Hipel et Mcleod, 1994). L'ensemble de données ressemble à ceci: Seules les premières lignes du fichier ont été affichées. Les trois premières lignes contiennent des commentaires sur les données et nous voulons les ignorer lorsque nous lisons les données dans R. Nous pouvons utiliser cela en utilisant le paramètre 8220skip8221 de la fonction scan (), qui spécifie combien de lignes en haut de Le fichier à ignorer. Pour lire le fichier dans R, en ignorant les trois premières lignes, nous tapons: Dans ce cas, l'âge de la mort de 42 rois successifs de l'Angleterre a été lue dans la variable 8216kings8217. Une fois que vous avez lu les données de la série temporelle dans R, l'étape suivante consiste à stocker les données dans un objet de série temporelle dans R, de sorte que vous pouvez utiliser les nombreuses fonctions R8217s pour analyser des données de séries temporelles. Pour stocker les données dans un objet série chronologique, nous utilisons la fonction ts () dans R. Par exemple, pour stocker les données dans la variable 8216kings8217 comme un objet série temporelle en R, nous tapons: Parfois, Ont été recueillis à des intervalles réguliers inférieurs à un an, par exemple mensuels ou trimestriels. Dans ce cas, vous pouvez spécifier le nombre de fois que les données ont été collectées par an en utilisant le paramètre 8216frequency8217 dans la fonction ts (). Pour les données de séries temporelles mensuelles, vous définissez la fréquence12, alors que pour les données de séries chronologiques trimestrielles, vous réglez la fréquence4. Vous pouvez également spécifier la première année où les données ont été collectées et le premier intervalle de cette année en utilisant le paramètre 8216start8217 dans la fonction ts (). Par exemple, si le premier point de données correspond au deuxième trimestre de 1986, vous devez définir startc (1986,2). Un exemple est un ensemble de données sur le nombre de naissances par mois dans la ville de New York, de janvier 1946 à décembre 1959 (initialement recueillies par Newton). Ces données sont disponibles dans le fichier robjhyndmantsdldatadatanybirths. dat Nous pouvons lire les données dans R et les stocker en tant qu'objet de séries chronologiques en tapant: De même, le fichier robjhyndmantsdldatadatafancy. dat contient des ventes mensuelles pour une boutique de souvenirs dans une station balnéaire de Queensland, Australie, de janvier 1987 à décembre 1993 (données originales de Wheelwright et Hyndman, 1998). Nous pouvons lire les données dans R en tapant: Plotting Time Series Une fois que vous avez lu une série chronologique dans R, l'étape suivante consiste généralement à faire un tracé des données de séries chronologiques, que vous pouvez faire avec la fonction plot. ts () Dans R. Par exemple, pour tracer la série chronologique de l'âge de la mort de 42 rois successifs d'Angleterre, nous tapons: On peut voir à partir du tracé temporel que cette série temporelle pourrait probablement être décrite en utilisant un modèle additif, puisque les fluctuations aléatoires Dans les données sont à peu près constante en taille dans le temps. De même, pour tracer la série chronologique du nombre de naissances par mois à New York, nous dactylographions: Nous pouvons voir à partir de cette série chronologique qu'il semble y avoir une variation saisonnière du nombre de naissances par mois: il ya un pic tous les étés , Et un creux chaque hiver. Une fois de plus, il semble que cette série temporelle pourrait probablement être décrite en utilisant un modèle additif, car les fluctuations saisonnières sont à peu près constantes dans la taille au fil du temps et ne semblent pas dépendre du niveau de la série temporelle et les fluctuations aléatoires semblent également être À peu près constante dans le temps. De même, pour tracer la série chronologique des ventes mensuelles pour le magasin de souvenirs dans une station balnéaire du Queensland, en Australie, nous dactylographions: Dans ce cas, il semble qu'un modèle additif ne convient pas pour décrire cette série chronologique, puisque la taille Des fluctuations saisonnières et des fluctuations aléatoires semblent augmenter avec le niveau de la série chronologique. Ainsi, nous pourrions avoir besoin de transformer les séries chronologiques afin d'obtenir une série temporelle transformée qui peut être décrite en utilisant un modèle additif. Par exemple, nous pouvons transformer la série chronologique en calculant le logarithme naturel des données originales: Ici, nous pouvons voir que la taille des fluctuations saisonnières et des fluctuations aléatoires dans la série temporelle log-transformée semblent être à peu près constantes dans le temps et ne Ne dépendent pas du niveau de la série chronologique. Ainsi, la série temporelle log-transformée peut probablement être décrite en utilisant un modèle additif. Décomposer les séries temporelles La décomposition d'une série chronologique consiste à la séparer en composantes constituantes, qui sont habituellement une composante de tendance et une composante irrégulière, et s'il s'agit d'une série temporelle saisonnière, une composante saisonnière. Décomposition des données non saisonnières Une série chronologique non saisonnière se compose d'une composante de tendance et d'une composante irrégulière. La décomposition de la série chronologique implique d'essayer de séparer les séries chronologiques de ces composantes, c'est-à-dire d'estimer la composante de la tendance et la composante irrégulière. Pour estimer la composante de tendance d'une série temporelle non saisonnière qui peut être décrite à l'aide d'un modèle additif, il est courant d'utiliser une méthode de lissage, comme le calcul de la moyenne mobile simple des séries chronologiques. La fonction SMA () du paquet 8220TTR8221 R peut être utilisée pour lisser les données de séries temporelles en utilisant une moyenne mobile simple. Pour utiliser cette fonction, nous devons d'abord installer le paquet 8220TTR8221 R (pour savoir comment installer un paquet R, voir Comment installer un paquet R). Une fois que vous avez installé le paquet 8220TTR8221 R, vous pouvez charger le paquet 8220TTR8221 R en tapant: Vous pouvez ensuite utiliser la fonction 8220SMA () 8221 pour lisser les données de séries temporelles. Pour utiliser la fonction SMA (), vous devez spécifier l'ordre (span) de la moyenne mobile simple, en utilisant le paramètre 8220n8221. Par exemple, pour calculer une moyenne mobile simple de l'ordre 5, on place n5 dans la fonction SMA (). Par exemple, comme nous l'avons vu ci-dessus, la série chronologique de l'âge de décès de 42 rois successifs d'Angleterre est non saisonnière et peut probablement être décrite à l'aide d'un modèle additif puisque les fluctuations aléatoires des données sont à peu près constantes en taille Temps: Ainsi, nous pouvons essayer d'estimer la composante de tendance de cette série de temps en lissant en utilisant une moyenne mobile simple. Pour lisser la série chronologique à l'aide d'une moyenne mobile simple de l'ordre 3, et tracer les données de la série chronologique lissée, nous tapons: Il semble toujours y avoir beaucoup de fluctuations aléatoires dans la série chronologique lissée en utilisant une moyenne mobile simple d'ordre 3. Ainsi, pour estimer la composante de la tendance avec plus de précision, nous pourrions vouloir essayer de lisser les données avec une moyenne mobile simple d'un ordre supérieur. Cela prend un peu d'essai et d'erreur, pour trouver la bonne quantité de lissage. Par exemple, nous pouvons essayer d'utiliser une moyenne mobile simple de l'ordre 8: Les données lissées avec une moyenne mobile simple de l'ordre 8 donnent une image plus claire de la composante de la tendance et nous pouvons voir que l'âge de la mort des rois anglais semble Ont diminué d'environ 55 ans à environ 38 ans pendant le règne des 20 premiers rois, puis augmenté après cela à environ 73 ans à la fin du règne du 40e roi dans la série chronologique. Décomposition des données saisonnières Une série temporelle saisonnière comprend une composante tendancielle, une composante saisonnière et une composante irrégulière. La décomposition de la série chronologique consiste à séparer les séries temporelles en ces trois composantes, c'est-à-dire à estimer ces trois composantes. Pour estimer la composante de tendance et la composante saisonnière d'une série temporelle saisonnière qui peut être décrite à l'aide d'un modèle additif, nous pouvons utiliser la fonction 8220decompose () 8221 dans R. Cette fonction estime les composantes tendances, saisonnières et irrégulières d'une série temporelle qui Peut être décrite en utilisant un modèle additif. La fonction 8220decompose () 8221 renvoie un objet de liste comme résultat, où les estimations de la composante saisonnière, de la composante de tendance et de la composante irrégulière sont stockées dans des éléments nommés de cette liste, appelés respectivement 8220seasonal8221, 8220trend8221 et 8220random8221. Par exemple, comme nous l'avons vu plus haut, la série chronologique du nombre de naissances par mois dans la ville de New York est saisonnière avec un pic chaque été et chaque hiver et peut probablement être décrite en utilisant un modèle additif puisque les fluctuations saisonnières et aléatoires semblent Les valeurs estimées des composantes saisonnières, tendancielles et irrégulières sont maintenant stockées dans des variables de naissances, de séries, de séries de naissances, de tendances de la natalité et des séries de naissances, selon l'âge. Par exemple, nous pouvons imprimer les valeurs estimées de la composante saisonnière en tapant: Les facteurs saisonniers estimés sont donnés pour les mois de janvier à décembre et sont les mêmes pour chaque année. Le plus important facteur saisonnier est celui de juillet (environ 1,46), et le plus bas pour février (environ -2,08), ce qui indique qu'il semble y avoir un pic de naissances en juillet et un creux de naissances en février de chaque année. Nous pouvons tracer la tendance estimée, les composantes saisonnières et les composantes irrégulières de la série chronologique en utilisant la fonction 8220plot () 8221, par exemple: La courbe ci-dessus montre la série chronologique originale (en haut), la composante de tendance estimée La composante saisonnière estimée (troisième du haut) et la composante irrégulière estimée (en bas). On constate que la composante tendancielle estimée montre une légère diminution, passant d'environ 24 en 1947 à environ 22 en 1948, suivie d'une augmentation régulière d'environ 27 en 1959. Ajustement saisonnier Si vous avez une série temporelle saisonnière qui peut être décrite en utilisant Un modèle additif, vous pouvez ajuster les séries chronologiques en fonction de l'estimation de la composante saisonnière et soustraire la composante saisonnière estimée de la série chronologique initiale. Nous pouvons le faire en utilisant l'estimation de la composante saisonnière calculée par la fonction 8220decompose () 8221. Par exemple, pour ajuster les séries temporelles du nombre de naissances par mois à New York, nous pouvons estimer la composante saisonnière en utilisant 8220decompose () 8221, puis soustraire la composante saisonnière de la série chronologique originale: Désaisonnalisées, en utilisant la fonction 8220plot () 8221, en tapant: Vous pouvez constater que la variation saisonnière a été supprimée de la série chronologique corrigée des variations saisonnières. La série chronologique corrigée des variations saisonnières ne contient plus que la composante tendance et une composante irrégulière. Prévisions utilisant le lissage exponentiel Le lissage exponentiel peut être utilisé pour établir des prévisions à court terme pour les données de séries chronologiques. Lissage exponentiel simple Si vous avez une série temporelle qui peut être décrite en utilisant un modèle additif avec un niveau constant et aucune saisonnalité, vous pouvez utiliser le lissage exponentiel simple pour établir des prévisions à court terme. La méthode de lissage exponentiel simple permet d'estimer le niveau au moment du temps courant. Le lissage est contrôlé par le paramètre alpha pour l'estimation du niveau à l'instant actuel. La valeur de alpha est comprise entre 0 et 1. Les valeurs d'alpha qui sont proches de 0 signifient que peu de poids est placé sur les observations les plus récentes lors des prévisions de valeurs futures. Par exemple, le fichier robjhyndmantsdldatahurstprecip1.dat contient les précipitations annuelles totales en pouces pour Londres, à partir de 1813-1912 (données originales de Hipel et McLeod, 1994). Nous pouvons lire les données dans R et le tracer en tapant: Vous pouvez voir à partir du graphique qu'il ya à peu près un niveau constant (la moyenne reste constante à environ 25 pouces). Les fluctuations aléatoires des séries temporelles semblent être à peu près constantes dans le temps, il est donc probablement approprié de décrire les données en utilisant un modèle additif. Ainsi, nous pouvons faire des prévisions en utilisant un lissage exponentiel simple. Pour faire des prévisions utilisant le lissage exponentiel simple dans R, nous pouvons adapter un modèle prédictif simple de prédiction de lissage en utilisant la fonction 8220HoltWinters () 8221 dans R. Pour utiliser HoltWinters () pour le lissage exponentiel simple, nous devons définir les paramètres betaFALSE et gammaFALSE dans le HoltWinters () (les paramètres bêta et gamma sont utilisés pour le lissage exponentiel Holt8217s ou le lissage exponentiel Holt-Winters, comme décrit ci-dessous). La fonction HoltWinters () renvoie une variable de liste, qui contient plusieurs éléments nommés. Par exemple, pour utiliser le lissage exponentiel simple pour faire des prévisions pour la série chronologique des précipitations annuelles à Londres, nous tapons: La sortie de HoltWinters () nous indique que la valeur estimée du paramètre alpha est d'environ 0,024. Ceci est très proche de zéro, nous indiquant que les prévisions sont basées à la fois sur des observations récentes et moins récentes (bien qu'un peu plus de poids soit placé sur les observations récentes). Par défaut, HoltWinters () ne fait que des prévisions pour la même période couverte par notre série chronologique originale. Dans ce cas, notre série chronologique originale comprenait des précipitations pour Londres de 1813 à 1912, donc les prévisions sont également pour 1813-1912. Dans l'exemple ci-dessus, nous avons stocké la sortie de la fonction HoltWinters () dans la variable de liste 8220rainseriesforecasts8221. Les prévisions faites par HoltWinters () sont stockées dans un élément nommé de cette variable de liste appelée 8220fitted8221, nous pouvons donc obtenir leurs valeurs en tapant: Nous pouvons tracer la série chronologique d'origine en fonction des prévisions en tapant: Noir, et les prévisions comme une ligne rouge. La série chronologique des prévisions est beaucoup plus fluide que la série chronologique des données originales ici. Pour mesurer l'exactitude des prévisions, nous pouvons calculer la somme des erreurs carrées pour les erreurs de prévision dans l'échantillon, c'est-à-dire les erreurs de prévision pour la période couverte par notre série chronologique initiale. La somme de carré-erreurs est stockée dans un élément nommé de la variable de liste 8220rainseriesforecasts8221 appelée 8220SSE8221, de sorte que nous pouvons obtenir sa valeur en tapant: C'est-à-dire ici la somme de carré-erreurs est 1828.855. Il est courant dans le lissage exponentiel simple d'utiliser la première valeur de la série chronologique comme valeur initiale du niveau. Par exemple, dans la série chronologique des précipitations à Londres, la première valeur est de 23,56 (pouces) pour les précipitations en 1813. Vous pouvez spécifier la valeur initiale du niveau dans la fonction HoltWinters () à l'aide du paramètre 8220l. start8221. Par exemple, pour faire des prévisions avec la valeur initiale du niveau fixé à 23.56, nous tapons: Comme expliqué ci-dessus, par défaut HoltWinters () ne fait que des prévisions pour la période couverte par les données originales, soit 1813-1912 pour la pluviométrie des séries chronologiques. Nous pouvons faire des prévisions pour d'autres points de temps en utilisant la fonction 8220forecast. HoltWinters () 8221 dans le package R 8220forecast8221. Pour utiliser la fonction forecast. HoltWinters (), nous devons d'abord installer le package 8220forecast8221 R (pour savoir comment installer un package R, voir Comment installer un package R). Une fois que vous avez installé le paquet 8220forecast8221 R, vous pouvez charger le paquet 8220forecast8221 R en tapant: Lorsque vous utilisez la fonction forecast. HoltWinters (), comme premier argument (entrée), vous passez le modèle prédictif que vous avez déjà installé à l'aide du Fonction HoltWinters (). Par exemple, dans le cas de la série chronologique des précipitations, nous avons stocké le modèle prédictif fait en utilisant HoltWinters () dans la variable 8220rainseriesforecasts8221. Vous spécifiez combien d'autres points de temps vous souhaitez établir des prévisions en utilisant le paramètre 8220h8221 de forecast. HoltWinters (). Par exemple, pour faire une prévision des précipitations pour les années 1814-1820 (8 ans de plus) en utilisant forecast. HoltWinters (), nous tapons: La fonction forecast. HoltWinters () vous donne la prévision pour un an, un intervalle de prédiction de 80 pour La prévision et un intervalle de prévision de 95 pour la prévision. Par exemple, la prévision des précipitations pour 1920 est d'environ 24,68 pouces, avec un intervalle de prédiction de 95 (16,24, 33,11). Pour tracer les prévisions faites par forecast. HoltWinters (), nous pouvons utiliser la fonction 8220plot. forecast () 8221: Ici, les prévisions pour 1913-1920 sont tracées sous la forme d'une ligne bleue, l'intervalle de prédiction de 80 comme zone orange ombragée et 95 comme zone jaune ombragée. Les erreurs 8216forecast8217 sont calculées comme les valeurs observées moins les valeurs prédites, pour chaque point temporel. Nous ne pouvons que calculer les erreurs de prévision pour la période couverte par notre série chronologique initiale, qui est 1813-1912 pour les données de précipitations. Comme nous l'avons mentionné plus haut, une mesure de la précision du modèle prédictif est la somme des erreurs carrées (SSE) pour les erreurs de prévision dans l'échantillon. Les erreurs de prévision dans l'échantillon sont stockées dans l'élément nommé 8220residuals8221 de la variable list renvoyée par forecast. HoltWinters (). Si le modèle prédictif ne peut être amélioré, il ne devrait y avoir aucune corrélation entre les erreurs de prévision pour les prédictions successives. En d'autres termes, s'il existe des corrélations entre les erreurs de prévision pour les prévisions successives, il est probable que les prévisions de lissage exponentielles simples pourraient être améliorées par une autre technique de prévision. Pour déterminer si tel est le cas, on peut obtenir un corrélogramme des erreurs de prévision dans l'échantillon pour les lags 1-20. Nous pouvons calculer un corrélogramme des erreurs de prévision en utilisant la fonction 8220acf () 8221 dans R. Pour spécifier le décalage maximal que nous voulons examiner, nous utilisons le paramètre 8220lag. max8221 dans acf (). Par exemple, pour calculer un corrélogramme des erreurs de prévision dans l'échantillon pour les données de précipitations de Londres pour les lags 1-20, nous tapons: Vous pouvez voir à partir du corrélogramme échantillon que l'autocorrélation au retard 3 touche juste les limites de signification. Pour vérifier s'il existe des indices significatifs de corrélations non nulles aux intervalles de 1 à 20, nous pouvons effectuer un test de Ljung-Box. Cela peut être fait en R en utilisant la fonction 8220Box. test () 8221. Le délai maximal que nous voulons examiner est spécifié à l'aide du paramètre 8220lag8221 dans la fonction Box. test (). Par exemple, pour tester s'il ya des autocorrélations non nulles aux intervalles de 1 à 20, pour les erreurs de prévision dans les échantillons pour les données de précipitations de Londres, nous tapons: Ici, la statistique de test de Ljung-Box est de 17,4 et la valeur de p est de 0,6 , De sorte qu'il existe peu de signes d'auto-corrélations non nulles dans les erreurs de prévision dans les échantillons aux intervalles 1-20. Pour être sûr que le modèle prédictif ne peut pas être amélioré, il est également une bonne idée de vérifier si les erreurs de prévision sont normalement distribuées avec moyenne zéro et constante variance. Pour vérifier si les erreurs de prévision ont une variance constante, nous pouvons faire un graphique temporel des erreurs de prévision dans l'échantillon: Le graphique montre que les erreurs de prévision dans l'échantillon semblent avoir une variance à peu près constante dans le temps, bien que la taille des fluctuations Le début de la série chronologique (1820-1830) peut être légèrement inférieur à celui des dates ultérieures (par exemple 1840-1850). Pour vérifier si les erreurs de prévision sont normalement distribuées avec un zéro moyen, nous pouvons tracer un histogramme des erreurs de prévision, avec une courbe normale superposée qui a la moyenne de zéro et le même écart type que la distribution des erreurs de prévision. Pour ce faire, nous pouvons définir une fonction R 8220plotForecastErrors () 8221, ci-dessous: Vous devrez copier la fonction ci-dessus dans R pour l'utiliser. Vous pouvez ensuite utiliser plotForecastErrors () pour tracer un histogramme (avec une courbe normale superposée) des erreurs de prévision pour les prévisions de précipitations: Le graphique montre que la répartition des erreurs de prévision est approximativement centrée sur zéro et est plus ou moins normalement distribuée Il semble être légèrement biaisé à droite par rapport à une courbe normale. Cependant, l'asymétrie droite est relativement faible et il est donc plausible que les erreurs de prévision soient normalement distribuées avec un zéro moyen. Le test de Ljung-Box a montré qu'il y a peu d'évidence d'autocorrélations non nulles dans les erreurs de prévision dans l'échantillon, et la distribution des erreurs de prévision semble être normalement distribuée avec un zéro moyen. Cela suggère que la méthode de lissage exponentiel simple fournit un modèle prédictif adéquat pour les précipitations de Londres, qui ne peut probablement pas être améliorée. En outre, les hypothèses selon lesquelles les intervalles de prédiction des 80 et 95 étaient fondés sur (qu'il n'y a pas d'autocorrélation dans les erreurs de prévision et les erreurs de prévision sont normalement distribuées avec une moyenne nulle et une variance constante) sont probablement valides. Holt8217s Lissage exponentiel Si vous avez une série chronologique qui peut être décrite en utilisant un modèle additif avec une tendance croissante ou décroissante et aucune saisonnalité, vous pouvez utiliser le lissage exponentiel Holt8217s pour faire des prévisions à court terme. Le lissage exponentiel Holt8217s estime le niveau et la pente au point temporel actuel. Le lissage est contrôlé par deux paramètres, alpha, pour l'estimation du niveau au point de temps courant, et bêta pour l'estimation de la pente b de la composante de tendance au moment courant. Comme pour le lissage exponentiel simple, les param'etres alpha et bêta ont des valeurs entre 0 et 1, et des valeurs proches de 0 signifient que peu de poids est placé sur les observations les plus récentes lors des prévisions de valeurs futures. Un exemple d'une série temporelle qui peut probablement être décrite à l'aide d'un modèle additif avec une tendance et pas de saisonnalité est la série chronologique du diamètre annuel des jupes de femmes à l'ourlet, de 1866 à 1911. Les données sont disponibles dans le fichier robjhyndmantsdldatarobertsskirts. Dat (données originales d'Hipel et McLeod, 1994). Nous pouvons lire et tracer les données en R en tapant: Nous pouvons voir à partir de l'intrigue qu'il y avait une augmentation du diamètre de l'ourlet d'environ 600 en 1866 à environ 1050 en 1880, et qu'ensuite le diamètre de l'ourlet a diminué à environ 520 en 1911 Pour utiliser HoltWinters () pour le lissage exponentiel de Holt8217s, nous avons besoin de définir le paramètre gammaFALSE (le paramètre gamma est utilisé pour le lissage exponentiel de Holt-Winters, comme décrit ci). Par exemple, pour utiliser le lissage exponentiel Holt8217s pour ajuster un modèle prédictif pour le diamètre de la jupe, on tape: La valeur estimée de alpha est de 0,84 et de beta de 1,00. Elles sont toutes deux élevées, ce qui nous indique que l'estimation de la valeur actuelle du niveau et de la pente b de la composante de la tendance reposent essentiellement sur des observations très récentes dans la série chronologique. This makes good intuitive sense, since the level and the slope of the time series both change quite a lot over time. The value of the sum-of-squared-errors for the in-sample forecast errors is 16954. We can plot the original time series as a black line, with the forecasted values as a red line on top of that, by typing: We can see from the picture that the in-sample forecasts agree pretty well with the observed values, although they tend to lag behind the observed values a little bit. If you wish, you can specify the initial values of the level and the slope b of the trend component by using the 8220l. start8221 and 8220b. start8221 arguments for the HoltWinters() function. It is common to set the initial value of the level to the first value in the time series (608 for the skirts data), and the initial value of the slope to the second value minus the first value (9 for the skirts data). For example, to fit a predictive model to the skirt hem data using Holt8217s exponential smoothing, with initial values of 608 for the level and 9 for the slope b of the trend component, we type: As for simple exponential smoothing, we can make forecasts for future times not covered by the original time series by using the forecast. HoltWinters() function in the 8220forecast8221 package. For example, our time series data for skirt hems was for 1866 to 1911, so we can make predictions for 1912 to 1930 (19 more data points), and plot them, by typing: The forecasts are shown as a blue line, with the 80 prediction intervals as an orange shaded area, and the 95 prediction intervals as a yellow shaded area. As for simple exponential smoothing, we can check whether the predictive model could be improved upon by checking whether the in-sample forecast errors show non-zero autocorrelations at lags 1-20. For example, for the skirt hem data, we can make a correlogram, and carry out the Ljung-Box test, by typing: Here the correlogram shows that the sample autocorrelation for the in-sample forecast errors at lag 5 exceeds the significance bounds. However, we would expect one in 20 of the autocorrelations for the first twenty lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. Indeed, when we carry out the Ljung-Box test, the p-value is 0.47, indicating that there is little evidence of non-zero autocorrelations in the in-sample forecast errors at lags 1-20. As for simple exponential smoothing, we should also check that the forecast errors have constant variance over time, and are normally distributed with mean zero. We can do this by making a time plot of forecast errors, and a histogram of the distribution of forecast errors with an overlaid normal curve: The time plot of forecast errors shows that the forecast errors have roughly constant variance over time. The histogram of forecast errors show that it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Thus, the Ljung-Box test shows that there is little evidence of autocorrelations in the forecast errors, while the time plot and histogram of forecast errors show that it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Therefore, we can conclude that Holt8217s exponential smoothing provides an adequate predictive model for skirt hem diameters, which probably cannot be improved upon. In addition, it means that the assumptions that the 80 and 95 predictions intervals were based upon are probably valid. Holt-Winters Exponential Smoothing If you have a time series that can be described using an additive model with increasing or decreasing trend and seasonality, you can use Holt-Winters exponential smoothing to make short-term forecasts. Holt-Winters exponential smoothing estimates the level, slope and seasonal component at the current time point. Smoothing is controlled by three parameters: alpha, beta, and gamma, for the estimates of the level, slope b of the trend component, and the seasonal component, respectively, at the current time point. The parameters alpha, beta and gamma all have values between 0 and 1, and values that are close to 0 mean that relatively little weight is placed on the most recent observations when making forecasts of future values. An example of a time series that can probably be described using an additive model with a trend and seasonality is the time series of the log of monthly sales for the souvenir shop at a beach resort town in Queensland, Australia (discussed above): To make forecasts, we can fit a predictive model using the HoltWinters() function. For example, to fit a predictive model for the log of the monthly sales in the souvenir shop, we type: The estimated values of alpha, beta and gamma are 0.41, 0.00, and 0.96, respectively. The value of alpha (0.41) is relatively low, indicating that the estimate of the level at the current time point is based upon both recent observations and some observations in the more distant past. The value of beta is 0.00, indicating that the estimate of the slope b of the trend component is not updated over the time series, and instead is set equal to its initial value. This makes good intuitive sense, as the level changes quite a bit over the time series, but the slope b of the trend component remains roughly the same. In contrast, the value of gamma (0.96) is high, indicating that the estimate of the seasonal component at the current time point is just based upon very recent observations. As for simple exponential smoothing and Holt8217s exponential smoothing, we can plot the original time series as a black line, with the forecasted values as a red line on top of that: We see from the plot that the Holt-Winters exponential method is very successful in predicting the seasonal peaks, which occur roughly in November every year. To make forecasts for future times not included in the original time series, we use the 8220forecast. HoltWinters()8221 function in the 8220forecast8221 package. For example, the original data for the souvenir sales is from January 1987 to December 1993. If we wanted to make forecasts for January 1994 to December 1998 (48 more months), and plot the forecasts, we would type: The forecasts are shown as a blue line, and the orange and yellow shaded areas show 80 and 95 prediction intervals, respectively. We can investigate whether the predictive model can be improved upon by checking whether the in-sample forecast errors show non-zero autocorrelations at lags 1-20, by making a correlogram and carrying out the Ljung-Box test: The correlogram shows that the autocorrelations for the in-sample forecast errors do not exceed the significance bounds for lags 1-20. Furthermore, the p-value for Ljung-Box test is 0.6, indicating that there is little evidence of non-zero autocorrelations at lags 1-20. We can check whether the forecast errors have constant variance over time, and are normally distributed with mean zero, by making a time plot of the forecast errors and a histogram (with overlaid normal curve): From the time plot, it appears plausible that the forecast errors have constant variance over time. From the histogram of forecast errors, it seems plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero. Thus, there is little evidence of autocorrelation at lags 1-20 for the forecast errors, and the forecast errors appear to be normally distributed with mean zero and constant variance over time. This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predictive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon. Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series. However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account. Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series ARIMA models are defined for stationary time series. Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to 8216difference8217 the time series until you obtain a stationary time series. If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA(p, d,q) model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the 8220diff()8221 function in R. For example, the time series of the annual diameter of women8217s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time: We can difference the time series (which we stored in 8220skirtsseries8221, see above) once, and plot the differenced series, by typing: The resulting time series of first differences (above) does not appear to be stationary in mean. Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series: Formal tests for stationarity Formal tests for stationarity called 8220unit root tests8221 are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences (above) does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time. Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA(p, d,q) model for your time series, where d is the order of differencing used. For example, for the time series of the diameter of women8217s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing (d) is 2. This means that you can use an ARIMA(p,2,q) model for your time series. The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England (see above): From the time plot (above), we can see that the time series is not stationary in mean. To calculate the time series of first differences, and plot it, we type: The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA(p,1,q) model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England. By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component. We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA(p, d,q) model. To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions in R, respectively. To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set 8220plotFALSE8221 in the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type: We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 (-0.360) exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the 8220pacf()8221 function, by typing: The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag (lag 1: -0.360, lag 2: -0.335, lag 3:-0.321). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3. Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA (autoregressive moving average) models are possible for the time series of first differences: an ARMA(3,0) model, that is, an autoregressive model of order p3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(0,1) model, that is, a moving average model of order q1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero an ARMA(p, q) model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero (although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate) We use the principle of parsimony to decide which model is best: that is, we assume that the model with the fewest parameters is best. The ARMA(3,0) model has 3 parameters, the ARMA(0,1) model has 1 parameter, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, the ARMA(0,1) model is taken as the best model. An ARMA(0,1) model is a moving average model of order 1, or MA(1) model. This model can be written as: Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where Xt is the stationary time series we are studying (the first differenced series of ages at death of English kings), mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA (moving average) model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut: the auto. arima() function The auto. arima() function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg. type 8220library(forecast)8221, then 8220auto. arima(kings)8221. The output says an appropriate model is ARIMA(0,1,1). Since an ARMA(0,1) model (with p0, q1) is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA(0,1,1) model (with p0, d1, q1, where d is the order of differencing required). Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere Let8217s take another example of selecting an appropriate ARIMA model. The file file robjhyndmantsdldataannualdvi. dat contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 (original data from Hipel and Mcleod, 1994). This is a measure of the impact of volcanic eruptions8217 release of dust and aerosols into the environment. We can read it into R and make a time plot by typing: From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time. Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series (the order of differencing required, d, is zero here). We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use: We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3. The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag (lag 1: 0.666, lag 2: 0.374, lag 3: 0.162). The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds (especially for lag 19), the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds (0.666), while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds (-0.126). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2. Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series: an ARMA(2,0) model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2 an ARMA(0,3) model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(p, q) mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero (although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate) Shortcut: the auto. arima() function Again, we can use auto. arima() to find an appropriate model, by typing 8220auto. arima(volcanodust)8221, which gives us ARIMA(1,0,2), which has 3 parameters. However, different criteria can be used to select a model (see auto. arima() help page). If we use the 8220bic8221 criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA(2,0,0), which is ARMA(2,0): 8220auto. arima(volcanodust, ic8221bic8221)8221. The ARMA(2,0) model has 2 parameters, the ARMA(0,3) model has 3 parameters, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA(2,0) model and ARMA(p, q) model are equally good candidate models. An ARMA(2,0) model is an autoregressive model of order 2, or AR(2) model. This model can be written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Xt is the stationary time series we are studying (the time series of volcanic dust veil index), mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR (autoregressive) model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA(2,0) model (with p2, q0) is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA(2,0,0) model can be used (with p2, d0, q0, where d is the order of differencing required). Similarly, if an ARMA(p, q) mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA(p,0,q) model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model Once you have selected the best candidate ARIMA(p, d,q) model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA(p, d,q) model using the 8220arima()8221 function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, we discussed above that an ARIMA(0,1,1) model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England. You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the 8220order8221 argument of the 8220arima()8221 function in R. To fit an ARIMA(p, d,q) model to this time series (which we stored in the variable 8220kingstimeseries8221, see above), we type: As mentioned above, if we are fitting an ARIMA(0,1,1) model to our time series, it means we are fitting an an ARMA(0,1) model to the time series of first differences. An ARMA(0,1) model can be written Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where theta is a parameter to be estimated. From the output of the 8220arima()8221 R function (above), the estimated value of theta (given as 8216ma18217 in the R output) is -0.7218 in the case of the ARIMA(0,1,1) model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals You can specify the confidence level for prediction intervals in forecast. Arima() by using the 8220level8221 argument. For example, to get a 99.5 prediction interval, we would type 8220forecast. Arima(kingstimeseriesarima, h5, levelc(99.5))8221. We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the 8220forecast. Arima()8221 function in the 8220forecast8221 R package. For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type: The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings. The forecast. Arima() function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings (kings 43-47), as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions. The age of death of the 42nd English king was 56 years (the last observed value in our time series), and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67.8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA(0,1,1) model, by typing: As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA(0,1,1) model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing: Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0.9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20. To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram (with overlaid normal curve) of the forecast errors: The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time (though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series). The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero. Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA(0,1,1) does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA(2,0,0) model. To fit an ARIMA(2,0,0) model to this time series, we can type: As mentioned above, an ARIMA(2,0,0) model can be written as: written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated. The output of the arima() function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0.7533 and -0.1268 here (given as ar1 and ar2 in the output of arima()). Now we have fitted the ARIMA(2,0,0) model, we can use the 8220forecast. ARIMA()8221 model to predict future values of the volcanic dust veil index. The original data includes the years 1500-1969. To make predictions for the years 1970-2000 (31 more years), we type: We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing: One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima() and forecast. Arima() functions don8217t know that the variable can only take positive values. Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance. To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test: The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds. However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds. Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0.2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20. To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram: The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time. However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean. We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0.22: The histogram of forecast errors (above) shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve. Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA(2,0,0) model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon Links and Further Reading Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the 8220Kickstarting R8221 website, cran. r-project. orgdoccontribLemon-kickstart . There is another nice (slightly more in-depth) tutorial to R available on the 8220Introduction to R8221 website, cran. r-project. orgdocmanualsR-intro. html . You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage . To learn about time series analysis, I would highly recommend the book 8220Time series8221 (product code M24902) by the Open University, available from the Open University Shop . There are two books available in the 8220Use R8221 series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. Acknowledgements I am grateful to Professor Rob Hyndman. for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library (TSDL) in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, 8220Time series8221 (product code M24902), available from the Open University Shop . Thank you to Ravi Aranke for bringing auto. arima() to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors(). Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me (Avril Coghlan) corrections or suggestions for improvements to my email address alc 64 sanger 46 ac 46 ukA Complete Tutorial on Time Series Modeling in R Introduction 8216Time8217 is the most important factor which ensures success in a business. It8217s difficile de suivre le rythme du temps. Mais, la technologie a développé quelques méthodes puissantes utilisant qui nous pouvons 8216 voir choses 8217 à l'avance. Don8217t inquiétez pas, je ne parle pas de Time Machine. Il faut être réaliste ici en parlant des méthodes de prévision d'amplification. L'une de ces méthodes, qui traite des données temporelles, est la modélisation des séries temporelles. Comme son nom l'indique, cela implique de travailler sur des données basées sur le temps (années, jours, heures, minutes) pour tirer des idées cachées pour prendre des décisions éclairées. Les modèles de séries chronologiques sont des modèles très utiles lorsque vous avez des données corrélées en série. La plupart des maisons d'affaires travaillent sur les données de séries chronologiques pour analyser le nombre de ventes pour l'année suivante, le trafic du site Web, la position de la concurrence et bien plus encore. Cependant, c'est aussi l'un des domaines, que de nombreux analystes ne comprennent pas. Donc, si vous n'êtes pas sûr du processus complet de la modélisation des séries temporelles, ce guide vous présentera différents niveaux de modélisation des séries temporelles et ses techniques connexes. Les éléments suivants sont abordés dans ce didacticiel, comme indiqué ci-dessous: Table des matières Bases 8211 Modélisation des séries temporelles Exploration des données de séries chronologiques dans R Introduction à la série chronologique ARMA Modélisation et application de la modélisation des séries temporelles ARIMA Temps de démarrage 1. Notions de base 8211 Heure Série Modeling Let8217s commencent à partir des bases. Cela comprend les séries stationnaires, randonnées aléatoires. Rho Coefficient, Dickey Fuller Essai de stationnarité. Si ces termes sont déjà effrayant vous, don8217t s'inquiètent 8211 ils deviendront clairs dans un peu et je parie que vous commencerez à apprécier le sujet comme je l'explique. Série fixe Il existe trois critères de base pour classer une série comme stationnaire: 1. La moyenne de la série ne doit pas être une fonction du temps mais plutôt une constante. L'image ci-dessous a le graphe de gauche satisfaisant la condition alors que le graphique en rouge a une moyenne dépendant du temps. 2. La variance de la série ne doit pas être une fonction du temps. Cette propriété est connue sous le nom d'homoscédasticité. Le graphique suivant représente ce qui est et ce qui n'est pas une série stationnaire. (Noter la répartition variable de la distribution dans le graphique de droite) 3. La covariance du ième terme et du (i m) terme ne doit pas être une fonction du temps. Dans le graphique suivant, vous remarquerez que l'écart se rapproche au fur et à mesure que le temps augmente. Par conséquent, la covariance n'est pas constante avec le temps pour la série 8217. Pourquoi est-ce que je me soucie de 8216stationarity8217 d'une série chronologique La raison pour laquelle j'ai pris cette section première était que jusqu'à ce que moins que votre série chronologique soit stationnaire, vous ne pouvez pas construire un modèle de série temporelle. Dans les cas où le critère stationnaire est violé, la première condition est de stationner la série chronologique, puis d'essayer des modèles stochastiques pour prédire cette série temporelle. Il y a plusieurs manières d'apporter cette stationnarité. Certains d'entre eux sont Detrending, Differencing etc. Random Walk C'est le concept le plus élémentaire de la série chronologique. Vous pourriez connaître le concept bien. Mais, j'ai trouvé beaucoup de gens dans l'industrie qui interprète la marche aléatoire comme un processus stationnaire. Dans cette section, avec l'aide de quelques mathématiques, je ferai de ce concept clair pour toujours. Prenons un exemple. Exemple: Imaginez une fille se déplaçant aléatoirement sur un échiquier géant. Dans ce cas, la position suivante de la fille dépend uniquement de la dernière position. Maintenant imaginez, vous êtes assis dans une autre pièce et ne sont pas en mesure de voir la fille. Vous voulez prédire la position de la fille avec le temps. Bien sûr, vous deviendrez de plus en plus inexacte que la position de la jeune fille change. A t0 vous savez exactement où la fille est. La prochaine fois, elle ne peut se déplacer que sur 8 carrés et donc votre probabilité plonge à 18 au lieu de 1 et il continue à descendre. Maintenant, essayons de formuler cette série: où Er (t) est l'erreur au point temporel t. C'est le hasard que la fille apporte à chaque point dans le temps. Maintenant, si nous récursivement ajustement dans tous les Xs, nous allons finalement terminer à l'équation suivante: Maintenant, essayons de valider nos hypothèses de séries stationnaires sur cette formulation randonnée aléatoire: 1. Est la constante moyenne Nous savons que l'attente d'une erreur Sera zéro car il est aléatoire. On obtient donc EX (t) EX (0) Constante. 2. Est-ce que la Variance est constante? Par conséquent, on déduit que la marche aléatoire n'est pas un processus stationnaire car elle a une variance variante dans le temps. De plus, si nous vérifions la covariance, nous voyons que cela dépend aussi du temps. Let8217s pimenter les choses un peu, Nous savons déjà qu'une marche aléatoire est un processus non stationnaire. Introduisons un nouveau coefficient dans l'équation pour voir si nous pouvons rendre la formulation stationnaire. Coefficient introduit. Rho Maintenant, nous allons varier la valeur de Rho pour voir si nous pouvons faire la série stationnaire. Ici nous allons interpréter la dispersion visuellement et ne pas faire de test pour vérifier la stationnarité. Voici la courbe de la série chronologique: Augmenter la valeur de Rho à 0.5 nous donne le graphique suivant: Vous remarquerez peut-être que nos cycles sont devenus plus larges, mais essentiellement il ne semble pas y avoir Violation grave des hypothèses fixes. Let8217s prennent maintenant un cas plus extrême de Rho 0.9 Nous voyons encore que le X retourne des valeurs extrêmes à zéro après quelques intervalles. Cette série ne viole pas non-stationarity significativement. Maintenant, let8217s jeter un oeil à la marche aléatoire avec rho 1. Il s'agit évidemment d'une violation des conditions stationnaires. Ce qui fait rho 1 un cas spécial qui sort mal en test stationnaire Nous trouverons la raison mathématique à cela. Les éloignements de l'équation 8220X (t) Rho X (t-1) Er (t) 8221 prennent l'espérance de chaque côté de l'équation. Cette équation est très perspicace. Le X suivant (ou au point temporel t) est abaissé à Rho dernière valeur de X. Par exemple, si X (t 8211 1) 1, EX (t) 0,5 (pour Rho 0,5). Maintenant, si X se déplace dans n'importe quelle direction à partir de zéro, il est tiré à zéro à l'étape suivante. Le seul composant qui peut le pousser encore plus loin est le terme d'erreur. Le terme d'erreur est également probable d'aller dans l'une ou l'autre direction. Que se passe-t-il lorsque le Rho devient 1? Aucune force ne peut tirer le X dans l'étape suivante. Dickey Fuller Test de stationnarité Ce que vous venez d'apprendre dans la dernière section est formellement connu comme Dickey Fuller test. Voici un petit tweak qui est fait pour notre équation de le convertir en un test Dickey Fuller: Nous devons tester si Rho 8211 1 est significativement différent de zéro ou non. Si l'hypothèse nulle est rejetée, on obtient une série chronologique stationnaire. Les essais stationnaires et la conversion d'une série en une série stationnaire sont les processus les plus critiques dans une modélisation de séries temporelles. Vous devez mémoriser chaque détail de ce concept pour passer à l'étape suivante de la modélisation des séries temporelles. Let8217s considèrent maintenant un exemple pour vous montrer à quoi ressemble une série temporelle. 2. Exploration des données de séries chronologiques dans R Nous allons maintenant apprendre à manipuler des données de séries chronologiques sur R. Notre champ d'application sera restreint à l'exploration de données dans un ensemble de séries de séries temporelles et non aux modèles de séries temporelles de construction. J'ai utilisé un jeu de données intégré de R appelé AirPassengers. Le jeu de données se compose des totaux mensuels des passagers aériens internationaux, 1949 à 1960. Loading the Data Set Voici le code qui vous aidera à charger l'ensemble de données et de déverser quelques mesures de haut niveau. Inferences importantes La tendance d'année en année montre clairement que les passagers ont augmenté sans cesse. La variance et la valeur moyenne en juillet et août sont beaucoup plus élevées que le reste des mois. Même si la valeur moyenne de chaque mois est très différente, leur variance est faible. Par conséquent, nous avons un effet saisonnier fort avec un cycle de 12 mois ou moins. Exploration des données devient la plus importante dans un modèle de série chronologique 8211 sans cette exploration, vous ne saurez pas si une série est stationnaire ou non. Comme dans ce cas, nous connaissons déjà de nombreux détails sur le type de modèle que nous recherchons. Les Let8217s reprennent maintenant quelques modèles de séries temporelles et leurs caractéristiques. Nous allons également prendre ce problème en avant et faire quelques prédictions. 3. Introduction à la modélisation des séries temporelles ARMA Les modèles ARMA sont couramment utilisés dans la modélisation des séries temporelles. Dans le modèle ARMA, AR représente l'auto-régression et MA représente la moyenne mobile. Si ces mots vous semblent intimidants, n'hésitez pas à simplifier ces concepts dans les prochaines minutes pour vous Nous allons maintenant développer un talent pour ces termes et comprendre les caractéristiques associées à ces modèles. Mais avant de commencer, vous devriez vous rappeler, AR ou MA ne sont pas applicables sur les séries non stationnaires. Dans le cas où vous obtenez une série non stationnaire, vous devez d'abord stationner la série (en prenant la transformation de différence), puis choisir parmi les modèles de séries chronologiques disponibles. Tout d'abord, I8217ll expliquer chacun de ces deux modèles (AR amp MA) individuellement. Ensuite, nous examinerons les caractéristiques de ces modèles. Modèle de la série chronologique auto-régressive Let8217s comprenant les modèles AR utilisant le cas ci-dessous: Le PIB actuel d'un pays dit x (t) dépend du PIB de la dernière année, c'est-à-dire x (t 8211 1). L'hypothèse étant que le coût total de production des produits et des services d'un pays au cours d'un exercice financier (connu sous le nom de PIB) dépend de la mise en place des services de fabrication l'année précédente et que les nouveaux usines installent des services dans le courant an. Mais la composante principale du PIB est l'ancienne. Par conséquent, nous pouvons formellement écrire l'équation du PIB comme: Cette équation est connue sous le nom AR (1) formulation. Le chiffre un (1) indique que l'instance suivante dépend uniquement de l'instance précédente. L'alpha est un coefficient que nous cherchons à minimiser la fonction d'erreur. Notons que x (t 1) est en effet lié à x (t-2) de la même manière. Par conséquent, tout choc à x (t) disparaîtra progressivement à l'avenir. Par exemple, let8217s dire x (t) est le nombre de bouteilles de jus vendus dans une ville un jour donné. Pendant les hivers, très peu de vendeurs achetaient des bouteilles de jus. Soudain, un jour donné, la température a augmenté et la demande de bouteilles de jus grimpé à 1000. Cependant, au bout de quelques jours, le climat est devenu froid à nouveau. Mais, sachant que les gens se sont habitués à boire du jus pendant les jours chauds, il y avait 50 personnes qui buvaient encore du jus pendant les jours froids. Dans les jours suivants, la proportion est descendue à 25 (50 de 50), puis progressivement à un petit nombre après un nombre significatif de jours. Le graphique ci-dessous explique la propriété d'inertie de la série AR: Modèle de la série temporelle moyenne mobile Let8217s prenez une autre affaire pour comprendre le modèle de la série temporelle moyenne mobile. Un fabricant produit un certain type de sac, qui était facilement disponible sur le marché. Étant un marché concurrentiel, la vente du sac était à zéro pendant plusieurs jours. Ainsi, un jour, il a fait une expérience avec la conception et produit un type différent de sac. Ce type de sac n'était pas disponible n'importe où sur le marché. Ainsi, il a été en mesure de vendre le stock entier de 1000 sacs (on appelle cela comme x (t)). La demande a été si élevée que le sac a manqué de stock. En conséquence, quelque 100 clients impairs n'ont pas pu acheter ce sac. Appelons cette lacune comme étant l'erreur à ce moment. Avec le temps, le sac avait perdu son facteur woo. Mais encore peu de clients sont restés qui sont allés vides remis la veille. Voici une formulation simple pour représenter le scénario: Si nous essayons de tracer ce graphique, il ressemblera à ceci: Avez-vous remarqué la différence entre MA et modèle AR Dans le modèle MA, bruit choc disparaît rapidement avec le temps. Le modèle AR a un effet très durable du choc. Différence entre les modèles AR et MA La principale différence entre un modèle AR et MA est basée sur la corrélation entre les objets de série temporelle à différents moments. La corrélation entre x (t) et x (t-n) pour l'ordre n gt de MA est toujours nulle. Cela découle directement du fait que la covariance entre x (t) et x (t-n) est nulle pour les modèles MA (ce que nous nous référons à l'exemple de la section précédente). Cependant, la corrélation entre x (t) et x (t-n) diminue graduellement avec n devenant plus grand dans le modèle AR. Cette différence est exploitée indépendamment du modèle AR ou MA. Le graphique de corrélation peut nous donner l'ordre du modèle MA. Exploitation des parcelles ACF et PACF Une fois que nous avons la série chronologique stationnaire, nous devons répondre à deux questions principales: Q1. Est-ce un processus AR ou MA Q2. Quel ordre de processus AR ou MA devons-nous utiliser? L'astuce pour résoudre ces questions est disponible dans la section précédente. Didn8217t vous remarquez La première question peut être répondu en utilisant le tableau de corrélation totale (également connu sous le nom de corrélation automatique 8211 fonction ACF). ACF est une courbe de corrélation totale entre différentes fonctions de retard. Par exemple, dans le problème du PIB, le PIB au temps t est x (t). Nous nous intéressons à la corrélation de x (t) avec x (t-1). X (t-2) et ainsi de suite. Maintenant, réfléchissons à ce que nous avons appris plus haut. Dans une série moyenne mobile de lag n, nous n'obtiendrons aucune corrélation entre x (t) et x (t 8211 n -1). Par conséquent, le graphique de corrélation totale coupe au n-ième décalage. Il devient donc simple de trouver le lag pour une série MA. Pour une série AR, cette corrélation va progressivement diminuer sans aucune valeur de coupure. Alors que faisons-nous si c'est une série AR Voici le deuxième tour. Si nous trouvons la corrélation partielle de chaque décalage, elle se coupe après le degré de la série AR. Par exemple, si nous avons une série AR (1), si nous excluons l'effet du 1er lag (x (t-1)), notre 2ème lag (x (t-2)) est indépendant de x (t). Par conséquent, la fonction de corrélation partielle (PACF) diminuera fortement après le 1er lag. Voici les exemples qui permettront de clarifier tout doute que vous avez sur ce concept: La ligne bleue ci-dessus montre des valeurs significativement différentes de zéro. De toute évidence, le graphique ci-dessus a une coupure sur la courbe PACF après le 2e lag, ce qui signifie qu'il s'agit essentiellement d'un processus AR (2). De toute évidence, le graphique ci-dessus a une coupure sur la courbe ACF après le 2e lag, ce qui signifie qu'il s'agit essentiellement d'un processus MA (2). Jusqu'à maintenant, nous avons couvert sur la façon d'identifier le type de série stationnaire en utilisant ACF amp PACF parcelles. Maintenant, je vais vous présenter un cadre complet pour construire un modèle de série chronologique. En outre, nous discuterons également des applications pratiques de la modélisation des séries chronologiques. 4. Cadre et application de la modélisation des séries temporelles ARIMA Une révision rapide, Jusqu'ici, nous avons appris les bases de la modélisation des séries chronologiques, des séries chronologiques dans la modélisation R et ARMA. Il est maintenant temps de rejoindre ces pièces et de faire une histoire intéressante. Vue d'ensemble du cadre Ce cadre (illustré ci-dessous) spécifie l'approche pas à pas sur 8216 Comment faire une analyse de séries chronologiques 8216: Comme vous le savez, les trois premières étapes ont déjà été discutées ci-dessus. Néanmoins, la même chose a été brièvement décrite ci-dessous: Étape 1: visualiser les séries temporelles Il est essentiel d'analyser les tendances avant de construire n'importe quel modèle de série chronologique. Les détails qui nous intéressent se rapportent à tout type de tendance, la saisonnalité ou le comportement aléatoire dans la série. Nous avons couvert cette partie dans la deuxième partie de cette série. Étape 2: Stationariser la série Une fois que nous connaissons les tendances, les tendances, les cycles et la saisonnalité. Nous pouvons vérifier si la série est stationnaire ou non. Dickey 8211 Fuller est l'un des tests populaires pour vérifier la même chose. Nous avons couvert ce test dans la première partie de cette série d'articles. Ce doesn8217t se termine ici Qu'advient-il si la série se trouve être non stationnaire Il existe trois techniques couramment utilisées pour faire une série temporelle stationnaire: 1. Detrending. Ici, nous supprimons simplement la composante de tendance de la série temporelle. Par exemple, l'équation de ma série temporelle est: We8217ll supprimez simplement la partie entre parenthèses et construisez le modèle pour le reste. 2. Différenciation. C'est la technique couramment utilisée pour éliminer la non-stationnarité. Ici, nous essayons de modéliser les différences des termes et non le terme réel. Par exemple, cette différenciation est appelée la partie Intégration dans AR (I) MA. Maintenant, nous avons trois paramètres 3. Saisonnalité. La saisonnalité peut facilement être incorporée directement au modèle ARIMA. Plus d'informations à ce sujet a été discuté dans la partie applications ci-dessous. Étape 3: Trouver les paramètres optimaux Les paramètres p, d, q peuvent être trouvés en utilisant les tracés ACF et PACF. Une addition à cette approche peut être, si ACF et PACF diminue progressivement, cela indique que nous devons rendre la série temporelle stationnaire et introduire une valeur à 8220d8221. Etape 4: Construire le modèle ARIMA Avec les paramètres en main, nous pouvons maintenant essayer de construire le modèle ARIMA. La valeur trouvée dans la section précédente pourrait être une estimation approximative et nous devons explorer plus de combinaisons (p, d, q). Celui avec le BIC et l'AIC le plus bas devrait être notre choix. Nous pouvons également essayer certains modèles avec une composante saisonnière. Juste au cas où, nous remarquons n'importe quelle saisonnalité dans les parcelles ACFPACF. Étape 5: Faire des prévisions Une fois que nous avons le modèle ARIMA final, nous sommes maintenant prêts à faire des prédictions sur les points de temps futurs. Nous pouvons également visualiser les tendances à valider si le modèle fonctionne bien. Applications du modèle de séries temporelles Maintenant, nous utiliserons le même exemple que celui que nous avons utilisé ci-dessus. Ensuite, en utilisant des séries chronologiques, nous ferons des prédictions futures. Nous vous recommandons de consulter l'exemple avant de continuer. Où avons-nous commencé? Voici la trame du nombre de passagers avec des années. Essayez de faire des observations sur ce complot avant d'aller plus loin dans l'article. Voici mes observations: 1. Il ya une composante de la tendance qui fait croître le passager d'année en année. 2. Il semble y avoir une composante saisonnière qui a un cycle de moins de 12 mois. 3. La variance des données ne cesse d'augmenter avec le temps. Nous savons que nous devons aborder deux questions avant de tester les séries stationnaires. Premièrement, nous devons éliminer les écarts inégaux. Nous le faisons en utilisant le journal de la série. Deuxièmement, nous devons nous pencher sur la composante de la tendance. Nous faisons cela en prenant la différence de la série. Maintenant, testez la série résultante. Augmenté Dickey-Fuller Test Nous voyons que la série est assez stationnaire pour faire tout type de série chronologique de modélisation. L'étape suivante consiste à trouver les bons paramètres à utiliser dans le modèle ARIMA. Nous savons déjà que le composant 8216d8217 est 1 car nous avons besoin d'une différence pour rendre la série stationnaire. Pour ce faire, nous utilisons les courbes de corrélation. Voici les parcelles ACF de la série: Que voyez-vous dans le tableau ci-dessus? De toute évidence, la décroissance du graphique ACF est très lente, ce qui signifie que la population n'est pas stationnaire. Nous avons déjà discuté ci-dessus que nous avons maintenant l'intention de régresser sur la différence de grumes plutôt que de grumes directement. Voyons comment la courbe ACF et PACF sortent après avoir régressé sur la différence. De toute évidence, ACF parcelle coupe après le premier décalage. Par conséquent, nous avons compris que la valeur de p devrait être 0 comme l'ACF est la courbe obtenir une coupure. Alors que la valeur de q devrait être 1 ou 2. Après quelques itérations, nous avons trouvé que (0,1,1) comme (p, d, q) se révèle être la combinaison avec moins AIC et BIC. Let8217s s'adapter à un modèle ARIMA et de prédire les 10 prochaines années. Aussi, nous essayerons de s'insérer dans une composante saisonnière dans la formulation ARIMA. Ensuite, nous visualiserons la prédiction avec les données d'entraînement. Vous pouvez utiliser le code suivant pour faire la même chose: Avec cela, nous arrivons à cette fin du didacticiel sur la modélisation des séries temporelles. J'espère que cela vous aidera à améliorer vos connaissances pour travailler sur des données basées sur le temps. Pour tirer le meilleur parti de ce tutoriel, I8217d vous propose de pratiquer ces codes R côte à côte et de vérifier vos progrès. Avez-vous trouvé l'article utile Partager avec nous si vous avez fait un genre similaire d'analyse avant. Faites-nous savoir vos pensées au sujet de cet article dans l'encadré ci-dessous. Si vous aimez ce que vous venez de lire amp souhaitez continuer votre apprentissage analytique, abonnez-vous à nos e-mails. Suivez-nous sur Twitter ou comme notre page facebook. Partagez ceci: Salut Tavish. Tout d'abord, félicitations pour votre travail ici. Il a été très utile. Je vous remercie de votre confiance et j'espère que vous pouvez m'aider J'ai effectué un test Dickey-Fuller sur les deux AirPassengers de la série et diff (log (AirPassengers)) Voici les résultats: Augmenté Dickey-Fuller Test de données: diff (log (AirPassengers) Dickey-Fuller -9.6003, Ordre Lag 0, valeur p 0.01 hypothèse alternative: stationnaire Augmenté Dickey-Fuller Données d'essai: diff (log (AirPassengers)) Dickey-Fuller -9.6003, ordre Lag 0, valeur p 0.01 hypothèse alternative: stationnaire Dans les deux tests j'ai obtenu une petite valeur p qui me permet de rejeter l'hypothèse non stationnaire. Ai-je raison Si oui, la première série est déjà stationnaire Cela signifie que si j'avais effectué un test stationnaire sur la série originale avait passer à l'étape suivante. Merci d'avance. Maintenant avec les bons résultats. Dickey-Fuller -9.6003, ordre Lag 0, p-value 0.01 hypothèse alternative: stationnaire Augmenté Dickey-Fuller Données d'essai: diff AirPassengers Dickey-Fuller -4.6392, P-value 0.01 hypothèse alternative: stationnaire Oui, l'adf. test (AirPassengers) indique que la série est stationnaire. C'est un peu trompeur. Raison: Ce test fait d'abord une dé-tendance sur la série, c'est-à-dire supprime la composante de tendance, puis vérifie la stationnarité. Par conséquent, il marque la série comme stationnaire. Il existe un autre test dans le paquetage fUnitRoots. S'il vous plaît essayez ce code: Démarrez install. packages (8220fUnitRoots8221) Si vous avez déjà installé ce paquet, vous pouvez omettre cette bibliothèque de ligne (fUnitRoots) adfTest (AirPassengers) adfTest (log (AirPassengers)) adfTest Aide .. Merci Ram, j'ai eu la même question que Hugo et votre explication m'a aidé je voulais juste souligner pour le bénéfice de quelqu'un d'autre à la recherche de ce que R est cap sensible, n'oubliez pas de capitaliser le T dans adfTest autrement votre fonction ne fonctionnera pas. Heureusement, la fonction auto. arima nous permet de modéliser les séries temporelles très bien, bien qu'il soit très utile de connaître les bases. Voici un code que j'ai écrit sur les mêmes données Bonjour, Après avoir exécuté ce pred lt - predict (APmodel, n. ahead1012) jetez un oeil à 039pred039 C'est une liste de 2 (pred et se 8211 Je suppose que ce sont des prédictions et des erreurs .) Je suggère d'utiliser un nom autre que pred dans la fonction prédire afin d'éviter la confusion. J'ai utilisé l'APforecast suivant lt - predict (APmodel, n. ahead1012) Donc, APforecast est une liste de pred et se et nous devons tracer les valeurs pred. C.-à-APforecastpred Aussi nous avons fait l'arima sur le journal des AirPassengers, donc la prévision que nous avons est en fait le journal de la vraie prévision. Par conséquent, nous devons trouver le log inverse de ce que nous avons. c'est à dire. Si vous trouvez cela déroutant, je suggère de lire les logarithmes naturels et leur inverse le log quoty039 est de tracer sur une échelle logarithmique 8211 ce n'est pas nécessaire, essayez la fonction sans elle et Avec et observer les résultats. Le bit lty, je n'ai pas encore compris. Lâchez-le et essayez le ts. plot, il fonctionne très bien. Hey Amy, ts. plot () va tracer plusieurs séries chronologiques sur la même parcelle. Les deux premières entrées sont les deux séries chronologiques he8217s traçant. Les deux dernières entrées sont de beaux paramètres visuels (we8217ll revenir à cela). De toute évidence, cela trace la série chronologique AirPassengers dans une ligne sombre et continue. La deuxième entrée est également une série chronologique, mais il est un peu plus déroutant: 8221 2.718predpred8221. Tout d'abord, vous devez savoir ce que predpred est. La fonction predict () ici est une fonction générique qui fonctionnera différemment pour les différentes classes branchées (il le dit si vous tapez predict). La classe avec laquelle nous travaillons est une classe Arima. Si vous tapez predict. Arima, vous trouverez une bonne description de la fonction. Predict. Arima () crache quelque chose avec une partie 8220pred8221 (pour prédire) et une partie 8220se8221 (pour l'erreur standard). Nous voulons la partie 8220pred8221, donc prédpred. Donc, predpred est une série chronologique. Maintenant, 2.718predpred est également. Vous devez vous rappeler que 2.718 est approximativement la constante e, et alors cela a un sens. He8217s juste annuler le journal qu'il a placé sur les données quand il a créé 8220fit8221. Comme pour les deux derniers paramètres, log 8220y8221 définit l'axe y pour être sur une échelle log. Enfin, lty c (1,3) va régler le LineTYpe sur 1 (pour le solide) pour la série chronologique initiale et 3 (pour les points) pour la série temporelle prédite. Hey Tavish, a vraiment apprécié le contenu, Juste un petit doute: Pouvez-vous s'il vous plaît ébaorate la covariance en termes stationnaires. Je comprends le terme de covariance, mais ici dans la série chronologique, il ne vient pas à mon esprit. Pouvez-vous s'il vous plaît m'aider à comprendre la troisième condition de la série stationnaire, soit 8220La covariance de la ième terme et le terme (im) th ne devrait pas être une fonction du temps. 8221 S'il vous plaît aidez-moi à comprendre à partir de données perspective, Chaque date. Comment pouvez-vous expliquer la convariance dans l'exemple réel avec des données de ventes quotidiennes. Parth Gera dit: Salut Tavish, Merci beaucoup. Cet article a été extrêmement utile. Je viens d'avoir un petit problème. Après la dernière étape, Si je veux extraire les valeurs prédites de la courbe. Comment pouvons-nous faire que vous obtenez les valeurs prédites de la variable pred. Pred est une liste avec deux éléments: pred et se. (Prédiction et erreur standard). Pour voir les prédictions, utilisez cette commande: print (predpred) Parth Gera dit: Bonjour Ram, Merci pour votre aide. Ouais, print (predpred) nous donnerait un journal des valeurs prédites. Print (2.718predpred) nous donnerait les valeurs prédites réelles. Merci Oui, si vous utilisez 8216log8217 lors de la création du modèle, vous utiliserez antilog ou exposant pour obtenir les valeurs prédites. Si vous créez un modèle sans la fonction de journal, vous n'utiliserez pas d'exposant pour obtenir les valeurs prédites comment extraire les données des valeurs prédites et réelles de R hello, les données utilisées dans votre tutoriel, AirPassengers, sont déjà une série chronologique objet. Ma question est: Comment puis-je faire prépare mon propre série chronologique? J'ai actuellement un ensemble de données historiques de change, avec la première colonne étant la date, et le reste 20 colonnes sont intitulées par pays, et leurs valeurs sont le taux de change. Après que j'ai converti ma colonne de date en objet de date, quand j'utilise les mêmes commandes employées dans votre tutoriel, les résultats sont drôles. Par exemple start (dataDate) me donnera un résultat de: 1 1 1 et frequency (dataDate) retournera: 1 1 pouvez-vous s'il vous plaît expliquer COMMENT préparer nos données en conséquence afin que nous puissions utiliser les fonctions merci Si vous tapez dans ts Alors vous devriez être sur votre chemin. Vous n'avez besoin que d'une série chronologique (unique), d'une fréquence et d'une date de début. Les exemples au bas de la documentation devraient être très utiles. I8217m guessing you8217d write something like ts( yourtimeseriesdata, frequency 365, start c(1980, 153)) for instance if your data started on the 153rd day of 1980.